Apa Itu Deret Maclaurin — Kegunaan Serta Penjabaran Rumus

Saat berada di bangku SMA, tentunya anda pernah belajar tentang deret geometri, seperti 1,2,4,8,16,32,... . jika deret tersebut berlanjut sampai tak hingga, anda mengetahui bahwa jumlah nilai total semua suku sama dengan

tapi bagaimana caranya kita bisa memnentuk kembali deret tersebut dari formula di atas? Untungnya, kita punya deret maclaurin / maclaurin series untuk menangani hal itu. apa itu deret maclaurin , dan bagaimana cara kerjanya?

deret maclaurin adalah deret yang pada dasarnya merupakan kasus khusus dari Taylor Series. Secara umum, kegunaan dari deret maclaurin adalah untuk membentuk persamaan dari kurva yang belum diketahui persamaannya dengan berlandaskan karakteristik dari kurva tersebut. karakteristik yang dimaksud adalah seberapa cepat sebuah titik di kurva itu berubah/gradient kurva di titik tersebut (=turunan pertama kurva tersebut),lalu seberapa cepat perubahan gradient kurva tersebut berubah (bisa diperoleh dari turunan kedua kurva tersebut), lalu seberapa cepat perubahan kecepatan dari perubahan gariden kurva tersebut, lalu seberapa cepat perubahan dari perubahan kecepatan dari perubahan gradien kurva, dan seterusnya. Benar jika anda mengatakan “ kalau begitu, jumlah informasi tentang karakteristik nya tidak terbatas dong ?” .

Baiklah, mungkin ini terkesan abstrak. Untuk memperjelas apa yang saya katakan, coba lihat contoh berikut :

Gambar di atas adalah grafik dari fungsi f(x)=sinx (warna biru) dan fungsi yang didapat dari deret maclaurin g(x)=x. Jika kita hanya mengetahui 1 karakteristik, yaitu gradien dari f(x) dan menerapkan karakteristik tersebut ke deret maclaurin, yang kita dapatkan adalah fungsi g(x). Harapannya, fungsi g(x) ini memiliki grafik semirip mungkin dengan grafik fungsi f(x). Tapi anda dapat lihat sendiri pada gambar di atas, grafiknya cukup berbeda. Jadi g(x) = x adalah estimasi yang buruk untuk fungsi f(x)=sin x.

Bagaimana jika kita mengetahui 3 karakteristik sekaligus,yaitu gradien, kecepatan perubahan gradien, dan kecepatan perubahan dari kecepatan perubahan gradien. Mungkin terdengar agak aneh. Namun, jika anda pernah belajar kalkulus, anda pasti sudah mengetahui bahwa gradien fungsi, kecepatan perubahan gradien fungsi, dan kecepatan perubahan dari kecepatan perubahan gradien secara berturut-turut disebut dengan turunan pertama suatu fungsi, turunan kedua suatu fungsi, dan turunan ketiga suatu fungsi. Dengan mengetahui informasi tentang ketiga informasi tersebut ( turunan pertama, turunan kedua, turunan ketiga), anda dapat membuat fungsi g(x) yang lebih baik lagi dari sebelumnya dan lebih mirip dengan fungsi f(x)=sin x. Fungsi g(x) yang dapat dihasilkan dengan ketiga informasi di atas adalah seperti ini :

Dengan tambahan informasi tentang turunan keempat dan kelima, kita bisa mendapatkan grafik berikut :

Dengan tambahan informasi tentang turunan keenam dan ketujuh, dapat dihasilkan grafik berikut :

Jika kita mendapatkan informasi turunan yang jauh lebih banyak lagi — misalkan 10 informasi turunan lagi — maka grafiknya akan jauh lebih baik.

Lihat grafik di atas. Grafik dengan warna merah adalah grafik dari f(x)=sin x dan grafik dengan warna biru adalah grafik g(x) dengan fungsi :

Grafik g(x) di atas dibuat dengan 19 informasi turunan. Turunan pertama,kedua, ketiga, sampai turunan ke 19. Anda dapat melihat bahwa grafik g(x) sekarang sangat mirip dengan grafik f(x), perbedaannya hanya terlihat pada ujung-ujung grafik g(x). Nah, agar grafik g(x) persis sama dengan grafik f(x), maka grafik g(x) di atas perlu terus dilanjutkan sampai ke turunan yang ke-takterhingga. Dengan kata lain, agar grafik g(x) sama dengan f(x), maka fungsi g(x) haruslah sama dengan :

Nah, deret fungsi g(x) di atas disebut deret maclaurin. Disebut deret karena terdiri dari penjumlahan suku-suku bilangan. Disebut dengan deret maclaurin karena metode menemukan deret ini diciptakan/dikembangkan oleh colin maclaurin , seorang matematikawan asal inggris.

Penemuan Deret Maclaurin

Deret maclaurin sebenarnya bukanlah deret yang tiba tiba ada begitu saja. Seperti yang sudah saya bilang pada bagian awal tulisan ini, deret maclaurin adalah kasus khusus dari deret Taylor. Deret maclaurin menyatakan bahwa jika fungsi p(x) sama dengan f(x), maka fungsi p(x) tersebut pasti memenuhi syarat berikut :

(catatan : p’(x) = turunan dari p(x))

Jika kita ingin semua syarat tersebut dipenuhi, salah satu kemungkinan rumus yang memenuhi adalah sebagai berikut:

Saya tidak akan menjelaskannya panjang lebar. Jika anda ingin penjelasan detail, silakan lihat video penjelasan dari khan academy disini .

Persamaan Yang Mengagumkan

Dengan menggunakan deret maclaurin, kita akan mendapatkan deret berikut:

mulai dari sini, kita akan melakukan sedikit manipulasi. kita sudah mengetahui deret maclaurin dari e^x. apa yang terjadi jika e^x dipangkatkan dengan bilangan imajiner i? caranya sama seperti deret maclaurin untuk e^x, hanya saja, nilai x sekarang kita ganti menjadi ix, sehingga:

Lihat, dengan menggunakan deret maclaurin, dapat kita ketahui bahwa ternyata e^(ix) = cos x+i sin x. Coba kita lihat apa yang terjadi saat besar x adalah π radian. cos π=-1 dan sin π=0, sehingga :

Persamaan yang anda lihat di atas disebut dengan identitas euler dan dikenal sebagai persamaan paling indah karena menunjukkan hubungan antara bilangan-bilangan paling fundamental di alam.

jika anda kurang paham dengan penjelasan di atas, silakan lihat pembahasan lebih detail dengan klik disini.

sekarang, balik ke pertanyaan tadi. bisakah anda merubah formula Sn di awal menjadi deret geometri kembali dengan menggunakan deret maclaurin ?

originally published in fikrinotes.netlify.app with several revisions